五个杯子的不可能游戏

演讲者曼视以翻杯子游戏开场：五个杯子正面朝上，每次翻四个，目标全部朝下。观众上台尝试失败。曼视随后用奇偶性证明这个目标永远不可能达成——正面朝下的杯子数永远是偶数，而目标是奇数。

细菌逃不出的三乘三牢笼

在无限大棋盘上，细菌不断向右向下分裂。问题是能否让左上角 3×3 区域清空。曼视给格子标上 1、1/2、1/4 等数字，证明所有细菌所占格子的数字和永远等于 1，而 3×3 之外所有格子加起来只有 15/16，不够 1，所以细菌永远逃不出。

黑板上的数字魔术

擦掉两个数 a 和 b，写上 a+b+ab，反复操作最后得到一个数。无论顺序如何，结果永远是 119。曼视揭示原理：给每个数加一作为"影子"，操作就变成乘法，最终结果是所有影子相乘再减一。

不变量：从假游戏到真原理

曼视用更简单的规则说明：如果操作是两数相加，最后结果就是所有数之和；如果是相乘，最后结果就是所有数之积。这些"魔术"之所以成立，是因为冥冥之中有一个数字在操作中保持不变——这就是不变量的核心思想。

变色龙的颜色与模三余数

岛上三种颜色的变色龙，两只不同颜色相遇会变成第三种颜色。曼视给颜色编号 0、1、2，证明无论怎么相遇，总分变化永远是 0、+3 或 −3，所以总分除以 3 的余数不变。初始余数为 2，而全部同色余数为 0，所以六只变色龙永远无法变成同一种颜色。

骰子滚不到的那一半棋盘

骰子只能滚不能平移，目标是平移到前面一格。曼视标出骰子的四个顶点，发现无论怎么滚，接触地面的顶点只能覆盖棋盘上一半的位置。直接平移会让顶点碰到永远不该碰到的点，所以做不到。

三叶结与三色可染性

三叶结怎么拉都解不开。曼视介绍拓扑学中的不变量：三色可染性。三叶结可以用三种颜色染色且每个交叉点满足条件，而圆环用不上三种颜色。绳结的三种基本变换都保持三色可染性，所以三叶结永远解不开。

欧拉公式与洞的秘密

立方体顶点减棱加面等于 2，四面体、八面体、碳 60 都如此。曼视用不断简化图形的方式证明欧拉公式。但甜甜圈形状等于 0，两个洞等于 −2——每多一个洞，结果减 2。这个数字叫欧拉示性数，可以帮你判断自己所在曲面有几个洞。

披萨、世界地图与不变的人生

捏住披萨短边它就会翘起来，因为高斯曲率要求曲面必须有一个方向保持笔直。同样的道理解释了为什么没有完美的世界地图。曼视最后引用庞加莱：数学就是给不同的事物起相同的名字。世界在变，抓住内心不变的东西。