I'm really/so/extremely sorry. 

我真的/非常/极其抱歉。

Please accept my/our/his/her apologies.

请接收我的/我们的/他的/她的道歉。

Please forgive me. 

请原谅我。

I feel sorry terrible about this/my mistake/my behaviour.

我对我的错误/行为感到非常抱歉。

I want to apologize to you for what I've done.

我为我的所作所为向你道歉。

I owe you an apology. 

我欠你一个道歉。

It was my mistake/all my fault. 

这是都我的错。

My mistake/My bad. 

我的错。

Dialogue1:

A: I'm so sorry.

很抱歉。

B: That's okay.

没关系。

Dialogue2:

A: I'm so sorry, I hope you can forgive me.

我很抱歉，我希望你能原谅我。

B: Well, I guess you didn't do it on purpose.

我猜你不是故意的。

Dialogue3:

A: Please accept my apologies.

请接受我的道歉。

B: Just this once. But please don't ever let it happen again.

就这一次，下次请不要再让这件事发生了。

Dialogue4:

A: I feel really sorry about this.

我对这件事感到很抱歉。

B: That's okay. But next time please try to be more careful. 

没关系，但是下次请注意点。

Dialogue5:

A: My mistake, I'm sorry.

我的错，抱歉。

B: No problem. It could happen to anyone. 

没关系，这种事会发生在任何人身上。